تحقیق توزیع پوآسون و نرمال

توزیع پواسن

متغیرهای تصادفی دو جمله ای و فراهندسی ،‌موفقیت ها را در یك نمونه گیری تعیین می كند. ممكن است در پدیده هایی با روندی از موفقیت ها رو به رو شویم و آگاهی از تعداد موفقیت ها مورد نظر باشد. به مثالهای زیر توجه كنید.

در یك بازی بستكبال گلهایی را كه تیم مورد علاقه به ثمر می رساند، روندی از موفقیت ها به دست می دهد.

تعداد دفعه هایی كه قلاب ماهیگیری مورد حمله های ماهیان قرار می گیرد،‌روندی از موفقیت ها است.

تعداد تصادف ها در جاده ای مورد نظر، روندی از موفقیتها است.

ترسم خطوط اضافی در پارچه بوسیله یك ماشین پارچه بافی، روندی از موفقیت ها را به دست می دهد.

تعداد حبابهای موجود در شیشه های تولیدی یك كارخانه ساخت شیشه، روندی از موفقیت ها است.

مطالعه آماری تعداد موفقیت ها در بخشی از روند مورد نظر، اهمیت دارد. تعداد گلهایی كه تیم مورد علاقه ما در نیمه اول به ثمر می رساند،‌تعداد دفعه هایی كه به قلاب ماهیگیری در یك ساعت حمله می شود، تعداد تصادف های در طول تابستان،‌تعداد خطوط اضافی كه در یك متر مربع ترسیم شده است و سرانجام، تعداد حبابهای موجود در 5 متر مربع شیشه تعداد موفقیت ها در بخشی از روند مربوطه است. نمونه گیری در اینجا به معنی گزینش آن بخش مورد نظر و شمارش تعداد موفقیت ها است. در مثال تعداد حبابها، هر قطعه شیشه 5 متر مربعی از تولید كارخانه یك نمونه به شمار می آید. در صورتی كه X را تعداد موفقیت ها تعریف كنیم، مجموعه مقادیر X

X={و2و1و 0    …}

پیشامد (X=i) بیانگر قطعاتی است كه در هر یك از آنها تعداد i  حباب است،‌ P(X=i) درصد این قطعات را تعیین می كند. تعیین P(X=i) با روش نمونه گیری در عمل ناممكن است. از این رو چگونه می توان P(X=i) را تعیین كرد؟ (در قسمت 5 به این پرسش پاسخ خواهیم داد) به هر حال تابع چگالی زیر P(X=I) را ارائه می دهد.

متغیر تصادفی پوآسن

یك متغیر تصادفی X با مجموعه مقادیر} …و2و1و0 X={ و تابع چگالی

(1-3)                                            

را متغیر تصادفی پواسن با پارامتر  می نامند و در این صورت نمایش  بكار برده می شود. در فرمول (1-3)  ، e عدد نپر است   و  میانگین تعداد موفقیت ها است،‌ . اگر توزیع پواسن بر روندی از موفقیت ها دلالت كند، آنگاه تعداد موفقیت ها در هر بخش از روند از توزیع پواسن پیروی می كند كه پارامتر آن،، مساوی میانگین تعداد موفقیت ها در آن بخش است.

 

توزیع نرمال

متغیر تصادفی نرمال

یك متغیر تصادفی X ،‌متغیر تصادفی نرمال است، اگر مجموعه مقادیر آن  و تابع چگالی آن

 

 

مقادیر  و  ثابت است و به ترتیب امید ریاضی و واریانس X است،    و  در این صورت نمایش  را برای X بكار می بریم.

هر متغیر تصادفی نرمال X با میانگین  و واریانس  خواص زیر را دارد.

1-

2- اگر  به سرعت یك تابع نمایی.

خاصیت اول بیان می كند كه پراكندگی در فاصله های  یكسان است.

خاصیت دوم بیان می كند با دوری از میانگین درصد مشاهده ها نسبتاً سریع كاهش می یابد.

متغیر تصادفی نرمال، نخستین بار به وسیله كارل كاوس بیان شد. این متغیر تصادفی مدل احتمال خوبی برای بسیاری از پدیده های طبیعی است، به این دلیل، آن را نرمال (طبیعی) نامیده اند. به مثالهای زیر توجه كنید.

عموماً نمره های دانش آموزان یك كلاس، نزدیك به میانگین تجمع بیشتر دارد و هر چه از دو سو از میانگین فاصله گرفته شود، تجمع نمره ها كاهش می یابد (نسبتاً سریع).

میزان قد افراد جامعه‌ی مورد نظر نیز پدیده ای طبیعی است. تجمع، نزدیك به میانگین به گونه ای نسبتاً متقارن، زیاد است. با دوری از میانگین از دو سوی، پراكندگی بسرعت (تقریباً به طور متقارن) كاهش می یابد.

درجه حرارت هوا را در نیمه شب بهمن ماه در منطقه‌ ای در نظر بگیرید. دوباره انتظار می رود كه تجمع نزدیك به میانگین زیاد باشد و با دور شدن از میانگین مقدار آن سریع كاهش یابد.

دقت كنید كه هر متغیر تصادفی نرمال با آگاهی از دو مقدار  كاملاً مشخص می شود. مقدار  را انحراف معیار (انحراف استاندارد) گویند.

- متغیر نرمال استاندارد

چنانچه دیده شد هر توزیع نرمال به وسیله دو مقدار مشخص می شود. یعنی اگر جمعیتی آماری از توزیع نرمال پیروی كند با محاسبه  تمام یافته های آماری را می توان برای آن جمعیت به دست آورد. اكنون اگر در یك توزیع نرمال،  باشد، توزیع نرمال استاندارد بوده و متغیر تصادفی نرمال مربوط به آن، متغیر تصادفی نرمال استاندارد است و آن را با Z نشان می دهیم  متغیر تصادفی Z در كاربرد اهمیت ویژه ای دارد و بدین دلیل جدول مربوط به مقادیر عددی تابع توزیع آن در بخش جدولها داده شده است بحث زیر اهمیت Z را روشن تر می كند.

توزیع پوآسون

در مواردی كه در توزیع دو جمله ای n بزرگ باشد محاسبة احتمالات كاری پیچیده و مشكل می گردد. از طرفی توزیع دو جمله ای در مواردی صدق می كند كه d=p-q كوچك باشد، و یا به عبارت دیگر q و p نزدیك به  باشند. در مواردی كه شرایط فوق صدق نكنند. (n بزرگ و احتمال ها نزدیك بهم نباشند) از توزیع های دیگری بجای توزیع دو جمله ای استفاده می گردد.

به طور كلی اگر احتمال وقوع پیشامدی (q) كوچك باشد و  باشد آن پیشامد را نادر گویند. و منحنی توزیع دو جمله ای از حالت تقارن خارج بوده و مورب می گردد. چون در عمل با چنین وقایع نادری روبرو هستیم، داشتن یك توزیع تقریبی برای چنین مواردی ضروری است. چنین توزیعی بنام توزیع پواسون معروف است.

در توزیع دو جمله ای اگر تعداد دفعات آزمایش (n) بتدریج كه p كوچك و كوچكتر می گردد، بزرگ و بزرگتر شود، مقدار  (لاندا) ثابت می ماند. به عبارت دیگر توزیع دو جمله ای باینومییال وقتی n به سمت بی نهایت و p به سمت صفر میل كند و np ثابت بماند، به توزیع پویسون تبدیل می گردد. بنابراین احتمال وقوع X  پیشامد در n آزمایش به صورت زیر محاسبه می گردد.